Guarda io ne so zero proprio però mi sono informato un po' con Google e ho trovato diversi forum stranieri dove riprendevano questo argomento. In particolare un utente affermava di avere un i5 2500k con una 680(non so cosa sia ma riprendo paro paro) e riusciva a streammare a 720/30fpxs mentre a 1080/30 iniziava ad andare male la live e a 60fpxs scattava proprio la stream. Poi parlavano di Quick sync e robe troppo tecniche e non ci ho capito più nulla.
Come pensavo io, a lui iniziava ad andare male perchè la sua CPU (del 2012) doveva sia far girare il gioco a cui lui stava giocando sia fare tutti i lavori dello stream, nel tuo caso il gioco viene interamente gestito dalla console ed il pc usa tutte le sue risorse per streammare. Ho trovato un sito in cui parlano appunto di usare un pc per giocare (nel tuo caso una console) ed un secondo pc solo per il compito di streammare utilizzando una capture card (tra cui c'è quella che tu hai nominato). Il è veramente minimo senza scheda video (in quanto inutile per questo scopo)
puoi trovare tutte le info qui se vuoi leggerle di persona. http://www.logicalincrements.com/articles/streaming
Io onestamente eviterei di spendere tutto il budget per una macchina del genere quando con meno della metà viene fuori un pc in grado di fare tutto ciò di cui hai bisogno, poi se vuoi una macchina più potente sta a te