L'indeterminismo quantistico

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ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG

La massa di una pallina è m = 10^(-3) kg e la sua posizione viene misurata con una incertezza Delta(x) = 10^(-6) m. Calcoliamo il limite teorico relativo all'incertezza che si ha sulla determinazione della velocità della pallina.
Dalla formula di Heisenberg, otterremo Delta(v) = h/(2*pi*m*Delta(x)) = 6.6*10^(-34)/(6.28*10^(-3)*10^(-6)) = 10^(-25) m/s.
Si tratta di una indeterminazione dello stesso ordine di grandezza della velocità che la pallina avrebbe se percorresse le dimensioni di un atomo (10^(-10) m) in circa 32 milioni di anni ! E' un valore, quindi, che può essere ritenuto trascurabile.

Consideriamo ora un elettrone, con massa a riposo m = 9.1*10^(-31) kg, che percorre una traiettoria circolare di raggio r = 2.5 m all'interno di un acceleratore di particelle con una velocità pari al 99% della velocità della luce e cioè v = 297000 km/s. Calcoliamo il grado di incertezza sulla traiettoria e sulla velocità.
In questo caso dovremo considerare l'effetto relativistico relativo all'aumento della massa dell'elettrone, per cui avremo: m' = m/SQRT(1-v^2/c^2) = 6.45*10^(-30) kg (SQRT è la radice quadrata), cioè circa 7.1 volte la massa dell'elettrone a riposo.
Ipotizzando un'indeterminazione sul raggio pari a Delta(r) = 5*10^(-5) m, l'errore relativo sarà molto basso: Delta(r)/r = 5*10^(-5)/2.5 = 0.002%.
Ciò indica che l'orbita è ben definita. La corrispondente incertezza sulla velocità radiale sarà Delta(v) >= h/(2*pi*m'*Delta(r)) = 6.6*10^(-34)/(6.28*6.45*10^(-30)*5*10^(-5)) = 0.33 m/s. Come si può notare, la componente radiale della velocità ha un valore assolutamente trascurabile (33 cm/s) rispetto alla velocità alla quale l'elettrone si sta muovendo, velocità di poco inferiore a quella della luce nel vuoto.
Anche nel caso di particelle microscopiche che si muovono lungo traiettorie macroscopiche, il principio di indeterminazione di Heisenberg non ha prodotto in pratica alcuna conseguenza apprezzabile.
Il problema, una volta assegnate le condizioni iniziali con precisione e tenendo conto degli effetti relativistici, può essere risolto semplicemente con i metodi classici.
In realtà le particelle elementari non possono essere trattate come punti materiali e le traiettorie non possono essere determinate in modo così semplice, ma possiamo ritenere in ogni caso accettabile l'approccio adottato per la risoluzione del problema.

Supponiamo ancora che il nostro elettrone orbiti intorno ad un nucleo atomico di raggio r = 0.5*10^(-10) m alla velocità orbitale v = 10^6 m/s. A tale velocità possiamo trascurare gli effetti relativistici e considerare la massa dell'elettrone a riposo (m = 9*10^(-31)). Considerando l'incertezza sul raggio orbitale dell'1%, cioè Delta(r) = 5*10^(-13) m, calcoliamo l'indeterminazione sulla componente radiale della velocità: Delta(v) >= 6.6*10^(-34)/(6.28*9*10^(-31)*5*10(-13) = 2.33*10^8 m/s, valore prossimo a quello della velocità della luce nel vuoto !
Si tratta di una incertezza sulla componente radiale della velocità che è circa 233 volte maggiore della velocità orbitale, per cui non avrà più senso parlare di posizione dell'elettrone in moto, non essendo determinata la sua velocità.
Allo stesso modo, se assumiamo un'incertezza sulla velocità radiale pari all'1%, risulterà che la corrispondente indeterminazione sul raggio orbitale è 233 volte maggiore della dimensione del raggio atomico. Non ha più senso, dunque, parlare di orbita.

CONCLUSIONI:
il principio di indeterminazione di Heisenberg non limita il campo di applicabilità delle leggi della Meccanica Classica e della Teoria della Relatività nel caso di corpi macroscopici e non lo limita neppure nel caso del moto di particelle microscopiche all'interno di zone macroscopiche, come ad esempio accade all'interno di un tubo a raggi catodici. In ambito microscopico, invece, concetti quali la velocità istantanea, la traiettoria, l'equazione del moto di una particella materiale, non hanno più senso. I metodi della meccanica classica sono assolutamente inapplicabili. Abbiamo bisogno delle leggi della Meccanica Quantistica.

P.S. Rinnovo i miei ringraziamenti a quanti hanno dato il loro prezioso contributo a questo thread :inchino:
 
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Come in un'onda elettromagnetica vibrano il campo elettrico ed il campo magnetico, così in un'onda di materia vibra una grandezza, di cui non si può dare un'interpretazione classica, denominata funzione d'onda (o ampiezza di probabilità). La funzione d'onda si indica con la lettera greca Psi.
Tale funzione dipende dalle coordinate spaziali x, y e z e dal tempo t e serve a determinare la probabilità che una particella materiale si trovi in un certo volume di spazio D(V) (D è il Delta inteso come intervallo di una grandezza fisica) e in un determinato intervallo di tempo compreso tra t e t+D(t).
Esattamente come accade nel caso del campo elettrico per i fotoni, il quadrato della funzione d'onda fornisce la probabilità di osservare la particella nei vari punti.
In sintesi, se la funzione d'onda è descritta, in un determinato istante, dalla funzione Psi(x), allora la densità di probabilità di trovare la particella in un certo intervallo spaziale (a,b), nel momento in cui effettuiamo una misura di posizione, è data dal quadrato del modulo della funzione d'onda, cioè |Psi(x)|^2.
In particolare, la funzione d'onda, oltre a fornirci informazioni probabilistiche sulle misurazioni di posizione eseguite su un sistema, consente anche di determinare la probabilità di trovare una certa velocità della particella lungo una direzione scelta come asse x.
Per poter passare, però, dalla funzione Psi(x) alla nuova funzione denominata Fi(v) dobbiamo adottare degli accorgimenti matematici: dobbiamo, cioè, passare dall'una all'altra funzione tramite la cosiddetta Trasformata di Fourier di Psi(x).
Tornerò a parlare della Trasformata di Fourier in un apposito articolo.
Quindi il quadrato del modulo di Fi(v), cioè |Fi(v)|^2, fornisce la densità di probabilità di trovare una velocità compresa in un certo intervallo al momento dell'esecuzione di una misura di velocità e inoltre, cosa ancor più importante, la trasformazione che conduce dalla Psi(x) alla Fi(v) è tale per cui quanto più piccola è una delle due funzioni tanto più grande è l'altra.
Ciò equivale a dire che se ho una piccola probabilità di trovare la particella in un certo intervallo, troverò in corrispondenza più valori di velocità come esiti probabili di un processo di misurazione di tale variabile, e viceversa.
Queste argomentazioni, e in particolare l'introduzione del concetto di ampiezza di probabilità, hanno consentito di rendere più rigorosi i concetti che portano al principio di indeterminazione di Heisenberg.
Fu Born ad assegnare, nel 1927, un significato probabilistico all'equazione di Schrodinger, che contiene la funzione d'onda Psi, sulle onde materiali di De Broglie ma,nello stesso momento in cui Schrodinger proponeva la sua "meccanica ondulatoria", Heisenberg, attraverso un meccanismo matematico più astratto denominato "meccanica delle matrici", arrivò a rappresentare, di fatto, la stessa teoria descritta da Schrodinger.
In seguito, il riconoscimento dell'equivalenza delle due teorie, la meccanica ondulatoria di Schrodinger e la meccanica delle matrici di Heisenberg, da parte della comunità di fisici che si interessava ad esse, segnò la nascita della meccanica quantistica, il cui formalismo attuale è dovuto allo scienziato inglese Dirac.
Avremo modo di discuterne quanto prima.
Buona lettura :ok:

P.S. Una doverosa precisazione: se considerassimo una radiazione, costituita da un insieme di fotoni o di elettroni, alla domanda: "sono onde o corpuscoli ?" noi non potremmo rispondere :D
 
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ù che altro... non c'è modo di mettere dei "font" per la matematica? cioè per poter scrivere come in un libro di testo?
Perchè leggere |psi(x)|^2 (come esempio) è un pò rognoso...
Mi ricorda molto MSN :asd: quando facevo con i miei colleghi un brain storming.
 
mark_1 ha detto:
wow, si scende nel tecnico eh?
Comunque la trasformata di Fourier è la mia trasformata preferita:vv:
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Come sicuramente saprai, caro Mark_1,
ad ogni tipo di onda possiamo associare una grandezza che misura l'intensità del "campo" in cui essa oscilla nello spazio e nel tempo: ad esempio, nel caso delle onde meccaniche la grandezza che oscilla è il "campo di pressione" (o di densità) del mezzo di propagazione (ad es., l'aria) mentre nel caso delle onde elettromagnetiche oscillano il campo elettrico e il suo campo magnetico associato, e così via.
Volendo fornire una formulazione matematica che desse un'interpretazione fisica del fenomeno del dualismo onda-corpuscolo, in particolare delle onde materiali di De Broglie, nel 1926 Schrodinger pervenne ad una equazione differenziale, analoga a quella che descriveva le onde meccaniche benché più complessa, in cui compariva la funzione Psi, che egli denominò "funzione d'onda".
Un'equazione differenziale è un'equazione in cui compaiono delle derivate e quindi risolvere un'equazione differenziale equivale a determinare una funzione, non dei singoli valori numerici. Fissate le condizioni iniziali, in particolare determinati valori dell'energia di una particella, si otterranno differenti evoluzioni temporali del fenomeno e la funzione d'onda calcola, per l'appunto, le "configurazioni" più probabili.
Nel 1927 Born, come già ricordato, propose un'interpretazione della funzione d'onda Psi come "onda di probabilità", ossia l'onda associata ad una particella è da intendere come la "densità di probabilità" di trovare tale particella, in un certo intervallo di tempo dt, in un determinato volume dV di spazio e tale probabilità è proporzionale al quadrato del modulo di Psi.
In particolare, se descrivessimo un'onda di Schrodinger come un "pacchetto d'onde", cioè più onde sovrapposte con lunghezze d'onda differenti, tale pacchetto corrisponderebbe ad una particella localizzata da qualche parte della zona di spazio x e laddove c'è l'ampiezza maggiore la particella stessa ha più probabilità di trovarsi, cosa che non accade nel caso, ad esempio, di un'onda progressiva la cui lunghezza d'onda e quantità di moto sono determinate perfettamente in qualunque punto dello spazio.
Tutto ciò ha condotto in seguito, in relazione ad un elettrone che si trova all'interno di un atomo, al concetto di orbitale atomico come insieme di valori assunti dalla funzione d'onda dell'elettrone nei vari punti dello spazio intorno al nucleo.
Tali valori, soluzioni dell'equazione d'onda di Schrodinger applicata all'atomo, corrispondono proprio agli "stati stazionari" trovati, per altra via, da Bohr.
Spero di aver chiarito meglio i termini della questione.
Ciao mark_1 ;)

P.S. Ti anticipo che l'ultimo articolo sull'indeterminismo quantistico parlerà del principio di "Complementarità" di Bohr :veach:

P.P.S. Incolto, hai ragione, ma come si può fare ? :skept:
 
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Aspetterò con ansia quest'ultimo articoletto, allora.
Il principio di complementarietà è sempre stato letteralmente affascinante per me, sia dal lato prettamente scientifico che da quello filosofico.
anche per bohr era lo stesso; infatti, per il simbolo da usare nello stemma dell'ordine dell'elefante, scelse il tao. Prova di come il "dualismo" avesse radicato in maniera profonda nella sua mente.
Facciamo così gronag. Io non scrivo niente ora, ma promettimi che tirerai fuori 2 righe su un certo "scambio di idee" che aveva proprio Bohr come protagonista.
Siccome questo è l'ultimo articolo sulla teoria quantistica, potresti anche finire con una bella frase ad effetto, no?
 
mark_1 ha detto:
Aspetterò con ansia quest'ultimo articoletto, allora.
Il principio di complementarietà è sempre stato letteralmente affascinante per me, sia dal lato prettamente scientifico che da quello filosofico.
anche per bohr era lo stesso; infatti, per il simbolo da usare nello stemma dell'ordine dell'elefante, scelse il tao. Prova di come il "dualismo" avesse radicato in maniera profonda nella sua mente.
Facciamo così gronag. Io non scrivo niente ora, ma promettimi che tirerai fuori 2 righe su un certo "scambio di idee" che aveva proprio Bohr come protagonista.
Siccome questo è l'ultimo articolo sulla teoria quantistica, potresti anche finire con una bella frase ad effetto, no?
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Certo, mark_1, con piacere :ok:
 
Wow, qui si che si fa sul serio!
Gronag, sei un divulgatore fantastico!
Come ti va di scrivere quei muri di testo non lo capisco, però!:asd:

La meccanica quantistica l'ho scoperta da poco, ma mi affascina davvero tanto.... una cosa, però:
gronag;2294719 allora la densità di probabilità di trovare la particella in un certo intervallo spaziale (a ha detto:
Il modulo quadro da la densità di probabilità, la probabilità in [a,b] è l'integrale di Psi quadro!
È un refuso o una semplificazione?
comunque ancora complimenti!
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gronag ha detto:
allora la densità di probabilità di trovare la particella in un certo intervallo spaziale (a,b), nel momento in cui effettuiamo una misura di posizione, è data dal quadrato del modulo della funzione d'onda, cioè |Psi(x)|^2.
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Se ci fai caso è giusto.
Non dice che la probabilità è l'integrale (corretto), ma dice (corettamente) che la densità di probabilità corrisponde al modulo quadro.
L'intervallo lo cita (secondo me) per completezza, e forse per essere più chiari nei confronti di chi non ha studiato questa materia o in genere non studia materie scientifiche.
Per me è ovvio che si riferisca all'intervallo considerato, magari per altri no ;)

allora la densità di probabilità di trovare la particella in un certo intervallo spaziale (a,b), nel momento in cui effettuiamo una misura di posizione, è data dal quadrato del modulo della funzione d'onda, cioè |Psi(x)|^2
Rileggilo così:
allora la densità di probabilità (di trovare la particella in un certo intervallo spaziale (a,b) nel momento in cui effettuiamo una misura di posizione) è data dal quadrato del modulo della funzione d'onda, cioè |Psi(x)|^2

Quello evidenziato è solo per far capire che la probabilità è associata al "trovare la particella in un certo intervallo/punto nello spazio"
 
IL PRINCIPIO DI COMPLEMENTARITA' (O COMPLEMENTARIETA') DI BOHR


Potete ben immaginare le implicazioni che derivano da una teoria fisica che pone dei limiti concettuali, quindi non pratici, alla "simultanea" conoscenza di alcune grandezze fisiche di un sistema, quali la quantità di moto e la posizione di una particella, ma è ancor più sconcertante il fatto che il nuovo modello quantistico richieda l'integrazione di due aspetti, quello corpuscolare e quello ondulatorio, inconciliabili tra loro.
Bohr, riflettendo su questi punti "oscuri" del formalismo quantistico, osservò che, come è impossibile, mediante un esperimento, determinare con precisione arbitraria alcune grandezze incompatibili, è altresì impossibile, sempre mediante procedimento sperimentale, evidenziare contemporaneamente l'aspetto corpuscolare e l'aspetto ondulatorio di un processo fisico.
Mi spiego meglio: nell'esperimento dell'interferenza (la cosiddetta "doppia fenditura", figura usata spesso da Bohr nel suo dibattito con Einstein), qualunque tentativo di evidenziare l'aspetto corpuscolare del fenomeno, in particolare determinare attraverso quale delle due fenditure la particella passa, "distrugge" inevitabilmente l'aspetto ondulatorio del processo stesso, ossia sullo schermo non si formano le frange di interferenza bensì la figura della fenditura.
E' come se noi non riuscissimo a cogliere "simultaneamente" diversi aspetti della nostra complessa realtà oppure, se preferite, ad avere "accesso" a tali forme, per così dire, "complementari" del reale.
Non solo: gli esperimenti, aggiungo io, atti a mettere in evidenza una particolare "sfaccettatura" della realtà sono incompatibili con altri esperimenti che determinano altre "facce" complementari della stessa realtà.
Bohr fu talmente entusiasta di questa idea al punto da "elevarla" a criterio generale, applicandola anche al di fuori dell'ambito dei fenomeni microscopici (ad es.,in campo biologico, Bohr asseriva che un qualsiasi esperimento atto a determinare che una cellula è viva, inevitabilmente la uccide).
Concedetemi la possibilità di fare, ora, qualche commento: non c'è dubbio che Bohr abbia fatto un'osservazione di grandissimo rilievo concettuale.
E' impossibile anche soltanto "immaginare" un procedimento fisico in cui la relazione di Heisenberg possa ritenersi violata ma mi sento di dire che Bohr non seppe mai dare una spiegazione convincente, matematicamente e fisicamente consistente e logica, del suo Principio di Complementarità.
Egli trovava soddisfazione nella contraddizione tra "onda" e "corpuscolo" anziché essere "turbato" dall'ambiguità di fondo e ideò una filosofia, chiamata per l'appunto"complementarità", non al fine di risolvere queste ambiguità ma per farle accettare.
Al termine "complementarità", mi pare di capire, assegnò un significato opposto a quello usuale: quello di "contraddittorietà".
Uno degli aforismi più amati da Bohr era il seguente: "l'opposto di una profonda verità è anch'esso una profonda verità".
Bell definì il concetto di Complementarità come una "visione romantica" ispirata dalla teoria quantistica.
Ma la via di fuga da questa "visione" dovrà richiedere necessariamente un importante lavoro matematico e fisico da parte di scienziati e non interpretazioni di ordine filosofico. Vedremo, a tal proposito, come proprio Bell sarà uno dei maggiori protagonisti del successivo cambiamento radicale del quadro teorico della Meccanica Quantistica.
Buona lettura a tutti ;)
 
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mi aspettavo gia da un pò una tua presa di posizione. E vedo con piacere che la pensiamo allo stesso modo.
Nessun cenno sugli "esperimenti mentali" di Einstein?:D
 
mark_1 ha detto:
mi aspettavo gia da un pò una tua presa di posizione. E vedo con piacere che la pensiamo allo stesso modo.
Nessun cenno sugli "esperimenti mentali" di Einstein?:D
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Certo, ne discuteremo quando tratterò del dibattito tra Bohr ed Einstein, del 1927 e anni successivi, che ha dato luogo a diverse "interpretazioni" della teoria con problematiche ancora oggi aperte.
In linea di massima abbiamo due scuole "interpretative" di pensiero: quella "ortodossa" della "Scuola di Copenaghen", i cui protagonisti furono, oltre a Bohr, Jordan e Heisenberg e quella degli "oppositori", tra cui Schrodinger ed Einstein stesso.
Inizialmente Einstein, con una serie di "esperimenti mentali", cercò di dimostrare l'inconsistenza "probabilistica", cioè non deterministica, della teoria ma in seguito, anche se convinto della sua validità, asserì che tale teoria era incompleta.
E' quindi errato pensare che Einstein si trovasse su posizioni di netto rifiuto nei confronti della Meccanica Quantistica; mantenne però una posizione fermamente critica su alcuni aspetti della teoria che daranno in seguito lo spunto a riflessioni decisive per i successivi sviluppi del formalismo quantistico.
A presto, Mark_1, e grazie di tutto ;)

P.S. Questo breve "excursus" sull'indeterminismo quantistico è da considerarsi concluso. I prossimi argomenti (ancora da strutturare) verteranno sul "Principio di Sovrapposizione degli stati" e quindi aprirò un apposito thread per discutere di questi.
Grazie a tutti per la gentile attenzione e, come sempre, buona lettura :ok:
 
mark_1 ha detto:
Penso che parlare con te (di qualunque argomento) sia da inserire tra le cose da fare prima di morire. XD
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Quoto. :D
Visto però che avete tirato fuori l'argomento, posso farvi una domanda prettamente filosofica?
Siamo d'accordo che non si possano conoscere contemporaneamente gli autovalori associati a determinate coppie di funzione, quindi non potremo mai avere una conoscenza esatta del mondo, e questo "ontologicamente".
E siamo d'accordo che questo spinge dalla parte dell'interpretazione di Copenaghen, con annessi e connessi.
Ma ammettiamo per un momento di avere un'Entità Onniscente, che conosce per Scienza Infusa velocità e direzione di una determinata particella (o di tutte le particelle dell'universo) con precisione assoluta.
A quel punto, quell'Entità potrebbe conoscere esattamente le forze che interagiscono tra le particelle con assoluta precisione, e quindi avere una comprensione perfetta dell'Universo, e, nel caso esistessero, delle "forze nascoste" che lo regolano.

In sostanza, è vero che l'interpretazione einsteiniana della quantomeccanica è poco utile (se non fuorviante) dal punto di vista fisico, ma secondo da un punto di vista puramente Filosofico/Ontologico (e Teologico, anche) un senso ce l'ha eccome.
Anzi, spiega cose che di fatto altre teorie (almeno quelle che conosco nel mio piccolo) non spiegano.

Spero di essermi spiegato bene e di non aver detto orrori catastrofici, ché la mia conoscenza della materia si limita a poco più di un esame di Chimica Fisica...
 
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