A che modem colleghi il Router? che connessione ADSL hai ?
La password WPA2 la trovi stampata sotto il modem, probabilmente l hai inserita la prima volta e adesso è rimasta memorizzata sul computer
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Se spegni il Router, alla successiva riaccensione è "normale" che tu debba ripremere connetti, è stato fatto per evitare che clienti con abbonamento a consumo possano avere problemi dimenticando il Router acceso
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Per quanto riguarda la Xbox non saprei non dovrebbe esserci nessun problema specie se altri dispositivi si collegano tranquillamente, controlli che sia aggiornata all' ultima versione del firmware disponibile e che sia configurata per ottenere automanticamente gli indirizzi IP.
Per la copertura del modem, questa viene influenzata da muri spessi o altri apparati elettronici ( per es. telefoni cordless ) mi sembra strano che un semplice muro in carton gesso possa dare di questi problemi.
provi a puntare il modem direttamente verso la zona della casa che vuole raggiungere, questo modello ha 3 antenne interne disposte sui 3 lati "chiusi" del modem ( quindi l' unico lato senza antenna è quello dove vi sono le porte ethernet ) quindi rivolga la parte opposta delle porte ethernet verso la zona che deve raggiungere.
Altra prova che può fare è cambiare il canale della rete Wifi:
Entri nella pagina di configurazione
http://192.168.0.1 e si sposti su Wireless Settings -> Basic -> Quì troverà il comando Channel "11" cambi questo valore carcando il canale che le dà le maggiori prestazioni e stabilità di segnale.