L'Ultimo Teorema di Fermat (UTF)

gronag

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#1
Pierre de Fermat era un magistrato francese,vissuto nel Seicento,con l'hobby della matematica. Nonostante fosse un dilettante nel campo della matematica,egli aveva ottenuto risultati più importanti di quelli avuti da matematici "professionisti" dell'epoca: vorrei ricordare che Fermat fu "l'ideatore" dei concetti fondamentali del calcolo infinitesimale,il cui concepimento viene attribuito,per tradizione,a Newton e a Leibniz.
Era appassionato di matematica antica greca ed è probabile che siano stati due matematici dell'epoca,Archimede e Eudosso,ad ispirarlo nell'elaborazione del calcolo infinitesimale. Studiò a Tolosa e a trent'anni divenne Commissario alle Richieste,sposò una cugina della madre ed ebbe cinque figli.
Uno di questi,Clément Samuel,divenne l'esecutore testamentario "scientifico" del padre ed è grazie a lui che ora possiamo conoscere il celebre Ultimo
Teorema di Fermat (UTF).
Samuel de Fermat si era,infatti,reso conto dell'importanza di quel teorema annotato a margine di un libro e lo aggiunse all'opera di Diofanto,da lui
ripubblicata.
Ne parlerò più diffusamente in seguito,ma per ora ricordo che Fermat ci ha lasciato anche la teoria dei numeri,nella quale il concetto di numero primo è
fondamentale.
Ad esempio,il numero 11 è primo perché non esistono interi (a parte 1 e lo stesso 11) che moltiplicati tra loro diano 11.
Il numero 6 non è primo perché è il prodotto di due numeri (2x3=6) diversi dal numero stesso e dall'unità.
Il fatto che,in apparenza,la successione dei numeri primi abbia una struttura casuale (sull'ipotesi di non casualità dei numeri primi tornerò a scrivere
un articolo apposito) rende la teoria dei numeri affascinante e,allo stesso tempo,priva di unità,con implicazioni che non vanno al di là dell'ambito
strettamente matematico. Tra i testi antichi latini dedicati alla matematica,tanto cari a Fermat,ce n'era uno,in particolare,scritto da Diofanto,un
matematico greco.
Nel 1637,a margine di un problema di scomposizione di un quadrato in due quadrati,facente parte dell'Arithmetica di Diofanto,Fermat scrisse una nota in latino: "D'altra parte non è possibile scomporre un cubo in due cubi,un biquadrato in due biquadrati o,in generale,ogni potenza,eccetto il quadrato,in due potenze con lo stesso esponente. Di ciò ho scoperto una dimostrazione veramente meravigliosa. Tuttavia la ristrettezza del margine non basterebbe a contenerla".
Ciò significa che,mentre il quadrato di un numero intero è scomponibile in una somma di quadrati di altri due numeri,come sappiamo dal Teorema di Pitagora,non è possibile fare la stessa cosa per il cubo e per tutte le altre potenze superiori a due.
Matematicamente,si scrive: x^n + y^n = z^n non ha soluzioni intere se n>2,cioè se n è maggiore di 2.
Per risolvere questo enigma sono stati utilizzati,in epoca moderna,i computer che hanno verificato l'esattezza dell'UTF per numeri grandissimi,ma non per
tutti i numeri. In matematica il fatto di verificare la validità di un enunciato per molti numeri,ma non per tutti,non costituisce una dimostrazione.
Si possono provare miliardi di numeri ma ne rimangono comunque infiniti altri da controllare e quindi ciò non dimostra nulla dal punto di vista matematico.
Dopo più di tre secoli e mezzo,nel 1993,Andrew Wiles,matematico dell'Università di Princeton,annunciò di aver risolto l'UTF dopo un lavoro durato sette anni.
In realtà,la dimostrazione dell'UTF non è opera soltanto di Wiles ma il riconoscimento spetta,in uguale misura,ad un gran numero di matematici contemporanei di Wiles ma anche precedenti all'epoca attuale,a partire dai tempi dello stesso Fermat.
Senza Kummer non ci sarebbe stata la teoria dei "numeri ideali",senza gli ideali non sarebbe esistita l'opera di Mazur,senza Mazur non ci sarebbe stata la
"Congettura di Frey",senza quest'ultima non sarebbe stata possibile la dimostrazione della "Congettura di Shimura-Taniyama",che implica l'UTF,da parte
di Ribet,e così via.
Possiamo dire,senza temere di essere smentiti,che la storia dell'UTF ripercorre tutte le tappe dello sviluppo del pensiero matematico antico e moderno: tre
secoli e mezzo di storia matematica !
Ma la domanda "reale" che mi pongo,e che propongo anche a voi,è questa: quando Fermat scrisse quella glossa,aveva veramente in mente una "meravigliosa dimostrazione" del suo ultimo teorema oppure no,tenendo conto che,per dimostrarlo,c'è voluta molta più matematica di quella che Fermat stesso poteva conoscere ?
Alla luce del fatto che tale dimostrazione abbia richiesto un "impianto" matematico notevole,tramite l'unificazione di settori apparentemente eterogenei tra
di loro,sarei tentato di rispondere di no,ma la mia non è una certezza.
D'altra parte,lo stesso Fermat,negli anni successivi alla scrittura di quell'annotazione,non ne parlo più: forse non lo dimostrò veramente,oppure pensava che il suo metodo per provare il caso n=3 fosse una soluzione generale,o magari,ancora,se ne dimenticò.
Il fatto che esista una dimostrazione complessa ed avanzata non vuol dire che non possa esisterne una più semplice e Fermat conosceva molta matematica "moderna" che oggi è andata perduta,ma questo noi non lo sapremo mai.
Buona lettura e a presto.
 

liuke

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#2
C'è un libro molto bello che racconta questa storia e avventura matematica è:

l'ultimo teorema di fermat scritto da simon singh
 
Mi Piace: mashi1994 e gronag

clessidra

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#3
Sarebbe possibile, ma poteva anche essere non corretta.

Quando dici
"Possiamo dire,senza temere di essere smentiti,che la storia dell'UTF ripercorre tutte le tappe dello sviluppo del pensiero matematico antico e moderno: tre
secoli e mezzo di storia matematica !"
intendi proprio 3 secoli e mezzo o tre millenni e mezzo. Anche i babilonesi, per esempio, fecero scoperte matematiche di rilievo per quei tempi.
 
#6
Sarebbe possibile, ma poteva anche essere non corretta.

Quando dici
"Possiamo dire,senza temere di essere smentiti,che la storia dell'UTF ripercorre tutte le tappe dello sviluppo del pensiero matematico antico e moderno: tre
secoli e mezzo di storia matematica !"
intendi proprio 3 secoli e mezzo o tre millenni e mezzo. Anche i babilonesi, per esempio, fecero scoperte matematiche di rilievo per quei tempi.
Salve caro @clessidra,
dal 1637, anno in cui Pierre de Fermat scrisse la sua famosa "nota" sulla "presunta" dimostrazione del problema che porta il suo stesso nome, al 1993, anno in cui A. Wiles annunciò di aver dimostrato "definitivamente" il problema di Fermat dopo uno studio durato 7 anni, sono passati più di 3 secoli e mezzo :sisi:
Purtroppo non sapremo mai come sono andate effettivamente le cose perché le prove della "presunta" dimostrazione data da Fermat non sono mai state trovate tra i suoi scritti matematici ma, a giudicare dal complesso "impianto" matematico richiesto per pervenire alla soluzione del problema, è probabile che: 1) Fermat non abbia dimostrato un bel nulla (e quindi si tratta di una balla); 2) la dimostrazione sia sbagliata :D
In ogni caso non potremo mai saperlo ;)
Ciao :)
 
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#8
Fermat poteva scrivere quello che voleva, ma effettivamente non ha dimostrato nulla, non credo fosse così saccente da tenersela per se, ha un po' fatto il simpaticone, ma quella frase resta una congettura vera, ma pur sempre solo una congettura.
 

gronag

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#9
Fermat dimostrò la sua "congettura" (ma dal 1993/1994, e probabilmente anche prima se consideriamo la congettura di Shimura e Taniyama, anno in cui Wiles annunciò la dimostrazione dell'UTF per qualsiasi esponente n, si può chiamare teorema) per n=3 e n=4, utilizzando un metodo a cui egli stesso diede il nome di "discesa infinita" (metodo di dimostrazione per assurdo):
http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/documents/Cap_3-2.pdf ;)
Tra l'altro, anche Eulero (il famoso "algorista"), indipendentemente da Fermat, la dimostrò per n=3 e n=4 :sisi:
In seguito venne dimostrata per gli esponenti 5, 6 e 7.

P.S. Non credo che Fermat fosse un bugiardo né un "burlone", era un magistrato apprezzato con l'hobby della Matematica (pur essendo più bravo di molti matematici dell'epoca), non cerchiamo di fare del facile "gossip", perdendo di vista il vero "nocciolo" della questione, vale a dire il fatto che per la dimostrazione "generale" dell'UTF siano stati impiegati oltre 3 secoli e mezzo di eventi e "costruzioni" matematiche piuttosto complesse, alcune create "ad hoc" e finalizzate proprio alla "generalizzazione" del teorema ;)
 
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#10
Scusa ma non ho capito Fermat l'ha dimostrato o no? Non si tratta di gossip ma di fatti e basta, se non l'ha dimostrato sei tu il primo a fare gossip chiedendoti se Fermat effettivamente ne conosceva la dimostrazione o meno.
Anche io posso scrivere su un libro che conosco una fantastica dimostrazione per l'ipotesi di Riemann ma è talmente banale che non merita di essere scritta, nessuno mi ricorderà per questo.
 
#11
Scusa ma non ho capito Fermat l'ha dimostrato o no? Non si tratta di gossip ma di fatti e basta, se non l'ha dimostrato sei tu il primo a fare gossip chiedendoti se Fermat effettivamente ne conosceva la dimostrazione o meno.
Anche io posso scrivere su un libro che conosco una fantastica dimostrazione per l'ipotesi di Riemann ma è talmente banale che non merita di essere scritta, nessuno mi ricorderà per questo.
Fermat viene ricordato anche per altri contributi di matematica analitica e di ottica, non solo per il teorema che comunque dimostro' in minima parte (n=4).
Il cosiddetto "Ultimo teorema di Fermat" e' invece diventato famoso nei secoli per via dei tanti che ci si sono cimentati, vedi anche il libro che ne racconta la storia citato in uno dei primi reply.
 
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#12
si lo sto prenotando in biblio ;)
 

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