Questi sono i principali teoremi dell'algebra booleana:
A+B=B+A (commutativa)
A*B=B*A (commutativa)
A+(B+C)=(A+B)+C (associativa)
A*(B*C)=(A*B)*C (associativa)
A*(B+C)=A*B+A*C (distributiva)
A+B*C=(A+B)*(A+C) (distributiva)
Vediamo ora gli assiomi più importanti:
A+1=1 (annullamento)
A*0=0 (annullamento)
A+A!=1 (A! = A negato)
A*A!=0 (complemento)
A+A=A (idempotenza)
A*A=A (idempotenza)
Infine abbiamo i teoremi di De Morgan:
(A+B)!=A!*B! cioè A+B=(A!*B!)!
(A*B)!=A!+B! cioè A*B=(A!+B!)!
Vale il principio di dualità: se un'uguaglianza è vera, è vera anche quella che scambia l'AND con l'OR e una variabile con la sua negata.
In tal caso la nuova uguaglianza si dirà "duale" rispetto a quella data.
Di solito le funzioni digitali, prima di essere minimizzate, devono essere preventivamente "canonizzate" in una somma di "mintermini" (nella sintesi somma di prodotti) in corrispondenza dei quali l'uscita è "1".
Per mintermine s'intende il prodotto logico delle variabili in ingresso prese in forma naturale se la variabile compare come "1" oppure in forma complementata se la variabile compare come "0".
Facciamo un esempio: Q=(A*B*C!)+(A*C)+(A*B!*C!), come si nota questa funzione non è in forma canonica (nel secondo mintermine manca la variabile B).
Posso fare così: applicando l'assioma del complemento si ottiene Q=(A*B*C!)+(A*C*(B+B!))+(A*B!*C!) da cui Q=(A*B*C!)+(A*B*C)+(A*B!*C)+(A*B!*C!).
Quest'ultima forma è canonica e può essere minimizzata.
A presto ;)
P.S. Ho dimenticato il teorema dell'assorbimento: A+A*B=A e A*(A+B)=A. Ti ricordo anche il teorema della doppia negazione: A!!=A (A doppio negato è pari ad A).
P.P.S. Facciamo un esempio di semplificazione della funzione logica Q=C!*(A+B*C!+C). Applicando la proprietà distributiva, avremo Q=(A*C!)+(B*C!*C!)+(C*C!).
Quindi Q=(A*C!)+(B*C!)+0, da cui Q=C!*(A+B). Si può ora fare la rappresentazione grafica a porte logiche AOI (AND-OR-INVERTER).
