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Utente 16812
Ospite
Oggi,cari amici,parleremo di numeri primi.
Partiamo dal concetto di numero primo: un intero naturale n si definisce primo se i suoi divisori sono solo 1 e n stesso.
La sequenza iniziale dei numeri primi inizia in questo modo: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,.....
Ora,trovare un ordine all'interno di questa sequenza vuol dire trovare una qualche particolare proprietà che può essere ritenuta "interessante" nella
sequenza stessa,oltre naturalmente a quella di essere numeri primi.
Bene,la prima proprietà riguarda il fatto di sapere se i numeri primi sono infiniti o meno.
Man mano che i numeri interi aumentano,si trovano meno numeri primi: questo accade perché è più facile trovare un intero molto grande che possa essere
diviso da un intero più piccolo,dando resto nullo.
Si potrebbe pensare,dunque,che,da un certo punto in poi,non ci siano più numeri primi e che tutti gli interi siano divisibili per altri più piccoli.
In realtà le cose non stanno in questo modo: si può dimostrare che scegliendo un intero grande a piacere,esiste un numero primo più grande di esso,ossia esistono infiniti numeri primi.
Si tratta di una proprietà molto interessante: significa che esistono interi grandi quanto volete che non possono essere divisi per alcun intero più piccolo.
In modo più "diradato",più "rarefatto",certamente,ma esistono.
Sarebbe,però,anche interessante conoscere come sono distribuiti i numeri primi tra tutti gli interi.
Facciamo un esempio coi numeri pari: 2,4,6,8,10,12,14,....: il terzo numero pari è 6 mentre il settimo numero pari è 14.
E' facilissimo dimostrare che l'n-esimo numero pari è 2*n; ad esempio,il centesimo numero pari è 200.
E' possibile trovare una formula simile anche per i numeri primi ?
Ci provò Eulero intorno al 1751,senza riuscirci. In effetti,se guardiamo le tavole della successione dei numeri primi,il ritmo col quale si susseguono è
irregolare: ad esempio,considerando la decade di interi compresi tra 307 e 317,troviamo quattro numeri primi (307,311,313,317) mentre i successivi quattro primi sono distribuiti,in modo più rarefatto,nell'intervallo tra 317 e 347 (317,331,337,347),cioè in tre decadi.
Spesso,nella scienza,accade che le scoperte più importanti si fanno nel momento in cui si affronta il problema da prospettive diverse e,nel caso dei numeri
primi,il cambio di prospettiva arrivò dal grande Gauss,quando,giovanissimo,ricevette in regalo un libro sui logaritmi.
Invece di chiedersi quale è l'n-esimo numero primo,Gauss si domandò quanti primi ci sono tra 1 e N: fino ad allora ci si era focalizzati sul singolo,Gauss
si concentrò sull'insieme.
Attraverso una dimostrazione di tipo statistico calcolò una formula approssimata,cioè: N/log(N) (logaritmo naturale in base e=2.718...,numero di Nepero).
Ma si dovette aspettare fino al 1859 per ottenere un significativo passo in avanti verso la comprensione della successione dei numeri primi.
Nel 1859,infatti,Riemann,appena trentaduenne,era già membro dell'Accademia di Berlino: all'epoca,per un giovane matematico,era un punto di arrivo molto
ambito. In agosto,Riemann presentò all'Accademia un saggio dal titolo "Sul numero dei primi minori di una certa grandezza" in cui spiegava di aver trovato
delle importantissime relazioni tra le funzioni continue a variabili complesse,la somma di serie (in particolare quella di Fourier) e i numeri primi.
In particolare,Riemann ipotizzò che si sarebbe potuto calcolare la posizione dei numeri primi studiando quando una speciale funzione,denominata Zeta di
Riemann,si fosse annullata.
In altre parole,l'apparente casualità dei numeri primi può essere generata dalla disposizione allineata degli zeri della funzione complessa Zeta,ma bisogna
dimostrare che tali zeri sono effettivamente allineati e a tutt'oggi non esiste tale prova matematica.
Lo stesso Riemann,dopo aver illustrato la sua "congettura",alla fine ammetteva: "Sarebbe auspicabile senza dubbio che si avesse una dimostrazione rigorosa di questa proposizione: tuttavia per il momento ho lasciato questa ricerca da parte dopo qualche breve tentativo infruttuoso,poiché essa mi appare superflua per gli scopi immediati dei miei studi".
Il passo ulteriore è,allo stato attuale,quello di dimostrare l'ipotesi di Riemann (l'ipotesi di Gauss,infatti,è stata dimostrata in modo indipendente da
Hadamard e da Vallée-Poussin circa cento anni dopo la formulazione data da Gauss stesso ed è conosciuta,ora,come Teorema dei Numeri Primi (TNP)); tale dimostrazione fornirebbe un metodo in grado di facilitare la scomposizione in fattori primi di un intero che,attualmente,richiede,da un punto di vista
computazionale,tempi lunghi.
Sulla difficoltà della fattorizzazione di un numero intero in primi si basano molti sistemi di sicurezza criptati,i quali,se venisse dimostrata la congettura
di Riemann,dovrebbero essere modificati (ci sono anche sistemi di crittografia che utilizzano altre tecniche,comunque).
Per concludere questi brevi accenni sull'ipotesi di non-casualità dei numeri primi,vorrei ricordare che,oltre alle ripercussioni in ambito di sicurezza
informatica,vi sono altre implicazioni più profonde come,ad esempio,quelle che riguardano la fisica quantistica dei nuclei atomici,la teoria del caos,il
calcolo delle probabilità,le sequenze della molecola del DNA,ecc...
Sulla crittografia quantistica e sui computer quantistici avrò modo di scrivere un articolo apposito.
Grazie a tutti e buona lettura ;)
Partiamo dal concetto di numero primo: un intero naturale n si definisce primo se i suoi divisori sono solo 1 e n stesso.
La sequenza iniziale dei numeri primi inizia in questo modo: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,.....
Ora,trovare un ordine all'interno di questa sequenza vuol dire trovare una qualche particolare proprietà che può essere ritenuta "interessante" nella
sequenza stessa,oltre naturalmente a quella di essere numeri primi.
Bene,la prima proprietà riguarda il fatto di sapere se i numeri primi sono infiniti o meno.
Man mano che i numeri interi aumentano,si trovano meno numeri primi: questo accade perché è più facile trovare un intero molto grande che possa essere
diviso da un intero più piccolo,dando resto nullo.
Si potrebbe pensare,dunque,che,da un certo punto in poi,non ci siano più numeri primi e che tutti gli interi siano divisibili per altri più piccoli.
In realtà le cose non stanno in questo modo: si può dimostrare che scegliendo un intero grande a piacere,esiste un numero primo più grande di esso,ossia esistono infiniti numeri primi.
Si tratta di una proprietà molto interessante: significa che esistono interi grandi quanto volete che non possono essere divisi per alcun intero più piccolo.
In modo più "diradato",più "rarefatto",certamente,ma esistono.
Sarebbe,però,anche interessante conoscere come sono distribuiti i numeri primi tra tutti gli interi.
Facciamo un esempio coi numeri pari: 2,4,6,8,10,12,14,....: il terzo numero pari è 6 mentre il settimo numero pari è 14.
E' facilissimo dimostrare che l'n-esimo numero pari è 2*n; ad esempio,il centesimo numero pari è 200.
E' possibile trovare una formula simile anche per i numeri primi ?
Ci provò Eulero intorno al 1751,senza riuscirci. In effetti,se guardiamo le tavole della successione dei numeri primi,il ritmo col quale si susseguono è
irregolare: ad esempio,considerando la decade di interi compresi tra 307 e 317,troviamo quattro numeri primi (307,311,313,317) mentre i successivi quattro primi sono distribuiti,in modo più rarefatto,nell'intervallo tra 317 e 347 (317,331,337,347),cioè in tre decadi.
Spesso,nella scienza,accade che le scoperte più importanti si fanno nel momento in cui si affronta il problema da prospettive diverse e,nel caso dei numeri
primi,il cambio di prospettiva arrivò dal grande Gauss,quando,giovanissimo,ricevette in regalo un libro sui logaritmi.
Invece di chiedersi quale è l'n-esimo numero primo,Gauss si domandò quanti primi ci sono tra 1 e N: fino ad allora ci si era focalizzati sul singolo,Gauss
si concentrò sull'insieme.
Attraverso una dimostrazione di tipo statistico calcolò una formula approssimata,cioè: N/log(N) (logaritmo naturale in base e=2.718...,numero di Nepero).
Ma si dovette aspettare fino al 1859 per ottenere un significativo passo in avanti verso la comprensione della successione dei numeri primi.
Nel 1859,infatti,Riemann,appena trentaduenne,era già membro dell'Accademia di Berlino: all'epoca,per un giovane matematico,era un punto di arrivo molto
ambito. In agosto,Riemann presentò all'Accademia un saggio dal titolo "Sul numero dei primi minori di una certa grandezza" in cui spiegava di aver trovato
delle importantissime relazioni tra le funzioni continue a variabili complesse,la somma di serie (in particolare quella di Fourier) e i numeri primi.
In particolare,Riemann ipotizzò che si sarebbe potuto calcolare la posizione dei numeri primi studiando quando una speciale funzione,denominata Zeta di
Riemann,si fosse annullata.
In altre parole,l'apparente casualità dei numeri primi può essere generata dalla disposizione allineata degli zeri della funzione complessa Zeta,ma bisogna
dimostrare che tali zeri sono effettivamente allineati e a tutt'oggi non esiste tale prova matematica.
Lo stesso Riemann,dopo aver illustrato la sua "congettura",alla fine ammetteva: "Sarebbe auspicabile senza dubbio che si avesse una dimostrazione rigorosa di questa proposizione: tuttavia per il momento ho lasciato questa ricerca da parte dopo qualche breve tentativo infruttuoso,poiché essa mi appare superflua per gli scopi immediati dei miei studi".
Il passo ulteriore è,allo stato attuale,quello di dimostrare l'ipotesi di Riemann (l'ipotesi di Gauss,infatti,è stata dimostrata in modo indipendente da
Hadamard e da Vallée-Poussin circa cento anni dopo la formulazione data da Gauss stesso ed è conosciuta,ora,come Teorema dei Numeri Primi (TNP)); tale dimostrazione fornirebbe un metodo in grado di facilitare la scomposizione in fattori primi di un intero che,attualmente,richiede,da un punto di vista
computazionale,tempi lunghi.
Sulla difficoltà della fattorizzazione di un numero intero in primi si basano molti sistemi di sicurezza criptati,i quali,se venisse dimostrata la congettura
di Riemann,dovrebbero essere modificati (ci sono anche sistemi di crittografia che utilizzano altre tecniche,comunque).
Per concludere questi brevi accenni sull'ipotesi di non-casualità dei numeri primi,vorrei ricordare che,oltre alle ripercussioni in ambito di sicurezza
informatica,vi sono altre implicazioni più profonde come,ad esempio,quelle che riguardano la fisica quantistica dei nuclei atomici,la teoria del caos,il
calcolo delle probabilità,le sequenze della molecola del DNA,ecc...
Sulla crittografia quantistica e sui computer quantistici avrò modo di scrivere un articolo apposito.
Grazie a tutti e buona lettura ;)
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