Il caos deterministico

[Utente 16812]

La parola caos proviene dal greco chàos e significa fenditura o anche abisso,in senso figurato.
Con tale parola i greci indicavano la materia primordiale dell'Universo prima che gli elementi naturali acqua,aria,terra e fuoco si combinassero per formare il cosiddetto kòsmos,cioè l'Universo ordinato.
Abbiamo,quindi,da un lato il chàos inteso come assenza di ordine e dall'altro il chàos inteso come abisso che precede la forma ordinata: in pratica parliamo dell'Universo "potenziale",prima di configurarsi in strutture stabili.
Nella scienza attuale,però,il caos ha un significato diverso e ben più specifico: la teoria del caos (meglio definirlo come caos deterministico,vedremo in seguito perché) è lo studio di quei sistemi dinamici la cui evoluzione è sensibile alle condizioni iniziali.
Cosa significa ? Significa che variazioni anche piccole dei dati iniziali provocano,a breve o a lungo termine,grandi effetti sul sistema dinamico che possono condurlo verso stati completamente diversi.
E' ciò che Lorenz definì "l'effetto farfalla": il battito di ali di una farfalla in Brasile può provocare un uragano in Texas.
Tanto per citare un esempio,la meteorologia è una disciplina che studia sistemi che possiedono tali caratteristiche.
Accennavo precedentemente al fatto che sarebbe meglio parlare di "caos deterministico": perché ?
All'interno di un sistema le relazioni tra causa ed effetto sono ben determinate,ma ciò non toglie che,sempre all'interno dello stesso sistema,si possa instaurare un regime di tipo caotico.
Ecco,questo comportamento deriva dal fatto che le equazioni che descrivono sistemi di questo tipo (sistemi caotici) non sono lineari,vale a dire che a essi non è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti.
E' per questo motivo che la teoria del caos viene anche definita come teoria dei sistemi non lineari.
Cosa implica tutto ciò ?
Intanto,il comportamento del sistema considerato non è predicibile a lungo termine,come avviene,ad esempio,nel caso delle previsioni del tempo.
Inoltre,le soluzioni di equazioni non lineari non possono essere formulate,in genere,in forma di funzione per cui (come avviene sempre nel campo della meteorologia) si rende necessario l'utilizzo di "simulazioni" di tali modelli tramite potentissimi calcolatori.
Non è possibile prevedere l'evoluzione di un sistema caotico ma siamo in grado di elaborare dei modelli matematici che possano descriverne il comportamento globale: in definitiva,dunque,nei fenomeni caotici,privi di predicibilità,esiste un ordine nascosto.
Vorrei concludere questa brevissima introduzione alla scienza del caos mettendo in rilievo il fatto che moltissimi fenomeni hanno trovato spiegazione attraverso modelli caotici,a partire dagli studi di Lorenz,il meteorologo americano che è considerato il "pioniere" in questo campo,agli inizi degli anni sessanta: nei settori della medicina,della biologia,dell'elettromagnetismo fino all'ottica laser,le applicazioni sono state numerosissime.
Eppure,anche sistemi estremamente semplici possono dare origine a sistemi caotici: conosciamo benissimo le forze in gioco ma le soluzioni delle corrispondenti equazioni non lineari sono caotiche.
Sono i cosiddetti sistemi complessi: ne riparleremo più approfonditamente in seguito.
Grazie a tutti e buona lettura ! ;)

 

[riccardik]

oooh!!! :oogle::boh::D

 

[Utente 16812]

Per farvi comprendere meglio i concetti che ho precedentemente illustrato in maniera teorica,prenderò in considerazione un problema,molto semplice,di
meccanica: il problema dei tre corpi di Newton.
Sapete benissimo che Newton introdusse,nel secondo principio della dinamica,la sua famosissima formula relativa alla legge di gravitazione universale che
stabilisce che la forza di attrazione tra due corpi è direttamente proporzionale alle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
Questa forza diminuisce esponenzialmente in quanto la distanza tra i due corpi,che si trova a denominatore,è elevata al quadrato e quindi non è lineare.
Newton utilizzò la formula per calcolare la traiettoria della Terra che ruota intorno al Sole,basandosi anche sulle leggi della meccanica celeste di Keplero,
e dedusse che la Terra ha una traiettoria ellittica di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
Considerando il sistema Terra-Sole chiuso (o isolato),cioè non essendoci scambi né di materia né di energia con l'ambiente circostante,possiamo senz'altro
affermare che tale sistema è di tipo conservativo: ciò vuol dire che,istante per istante,la somma dell'energia cinetica della Terra e della sua energia
potenziale gravitazionale si conserva,cioè rimane costante.
In tal caso,dunque,la Terra continuerà a ruotare per sempre intorno al Sole.
Se,al contrario,il sistema fosse aperto e dissipativo,la Terra perderebbe lentamente energia a causa degli attriti e cadrebbe inesorabilmente sul Sole.
In seguito Newton tentò di calcolare la traiettoria della Terra che ruota intorno a due Soli di uguale massa,cioè posta all'interno di un ipotetico sistema
composto da tre corpi (Terra-Due Soli),ma non riuscì a trovare una soluzione esprimibile in forma di funzione analitica (tipo,ad es.,f(x)=1/x^2 oppure
f(x)=1+x^3,ecc...).
E' possibile,però,risolvere il problema per via numerica,ossia calcolando la traiettoria della Terra punto per punto,a partire dalle equazioni del moto,
utilizzando il metodo iterativo.
Chi conosce l'Informatica sa che gli algoritmi iterativi vengono utilizzati quando una certa sequenza di operazioni deve essere ripetuta un certo numero di
volte oppure fino a quando non si verifichi una particolare condizione (ad es.,il calcolo del fattoriale di un numero o della potenza n-esima di un numero
non nullo,ecc...).
Nel nostro caso la traiettoria della Terra viene costruita iterativamente,nell'ipotesi che i due Soli siano puntiformi,e successivamente i punti calcolati
sono connessi con una curva continua.
Supponiamo ora di costruire due traiettorie della Terra,a partire dalle stesse posizioni di partenza (circa alla stessa distanza dai due Soli),in cui le due
velocità iniziali differiscono dell'1% l'una dall'altra (cioè,ad es.,una 30 km/s e l'altra 30.3 km/s).
Confrontando i due grafici (vedere la simulazione al computer: Comparing 2 3-Body Solutions ) si può notare
che la Terra inizialmente compie tre giri intorno ad un Sole e poi si dirige verso il secondo Sole lungo traiettorie molto diverse nei due casi a velocità diverse.
Non solo,le due traiettorie tendono a divergere sempre di più ed è possibile anche dimostrare che la Terra non ripercorre mai la stessa traiettoria.
La curva che descrive la traiettoria della Terra è di lunghezza infinita contenuta,però,in un volume finito di spazio fisico.
Possiamo senz'altro concludere quindi,in accordo a ciò che avevo già anticipato nella mia breve introduzione,che,nel sistema dinamico costituito da tre corpi,
a piccolissime variazioni delle condizioni iniziali corrispondono enormi divergenze nelle traiettorie.
Le implicazioni di tutto ciò saranno più chiare in seguito quando spiegherò meglio le caratteristiche dei sistemi caotici.
Un'ultima precisazione: il sistema Terra-Due Soli è conservativo (sistema isolato) e pertanto la Terra continuerà a girare per sempre intorno ai due Soli.
Considerando un sistema aperto,e quindi dissipativo,la Terra perderà lentamente energia a causa degli attriti finché cadrà,dopo lunghissimo tempo,su uno dei
due Soli.
Buona lettura ;)

 

[Utente 16812]

Ricapitoliamo sinteticamente quelle che,in base a ciò che abbiamo precedentemente ricavato,sono le proprietà fondamentali di un sistema caotico:
1) le equazioni che descrivono l'evoluzione di un sistema dinamico caotico non sono lineari;
2) le traiettorie sono molto sensibili alle variazioni delle condizioni iniziali;
3) tali traiettorie sono curve di lunghezza infinita,cioè non si ripetono mai,e sono contenute in un volume finito di spazio (fisico).
E' dunque impossibile predire,a partire da determinate condizioni iniziali,le traiettorie in un intervallo temporale lungo quanto volete: da un certo istante di tempo in poi la traiettoria diverge rispetto a quella prevista in modo casuale e questo indica che il sistema si sta comportando in modo caotico.
L'impossibilità di fare predizioni sul moto di un sistema caotico in un arco di tempo infinitamente lungo,conseguenza,ricordo,dell'estrema sensibilità del sistema stesso alle condizioni iniziali,è una caratteristica fondamentale della natura "intrinsecamente" caotica di tali sistemi dinamici.
L'altra proprietà fondamentale,ricordiamolo,è quella che abbiamo già descritto sopra: un sistema caotico è sempre descritto da equazioni non lineari.
Attenzione,però,perché il viceversa non sempre vale: non tutti i sistemi non lineari determinano un sistema caotico.
Infine,faccio notare che le equazioni che descrivono un sistema caotico non possono essere poste in forma analitica ma,d'altra parte,esistono anche sistemi non caotici che possono essere risolti solo per via numerica.
Buona lettura a tutti ;)

P.S. Dimenticavo di dire che i sistemi considerati sono conservativi. Nel caso di sistemi dissipativi le traiettorie hanno lunghezza finita in quanto terminano in un punto,che corrisponde allo stato finale di quiete (nel caso dei tre corpi,la Terra cadrà su uno dei due Soli) :asd: