Salve ragazzi avrei bisogno di aiuto con un esercizio su sagemath. Spero si possa condividere il codice senza troppi problemi. Avrei un paio di domande a riguardo.
Premetto che, sono sicuro al 100% non sia ottimizzato ma non mi interessa ai fini della risoluzione.
Premetto pure che il codice che inserirò dopo è perfettamente funzionante.
La prima domanda è perché
mi genera matrici casuali, con soli numeri interi compresi tra -2 e 2? Avrei bisogno di una matrice con un range più grande e che includa frazioni, numeri irrazionali, immaginari ecc.
Per la seconda domanda devo inserirvi codice e traccia quindi la metto a fine codice
Devo scrivere un codice che accetta in input un'applicazione 𝑓:ℝ^𝑚→ℝ^𝑛 con m>n e dopo aver verificato sia surgettiva deve costruirmi 𝑔:ℝ^𝑛→ℝ^𝑚 tale che 𝑓∘𝑔 sia la funzione identità.
Ho scritto un codice che genera delle applicazioni lineari (ripeto, non è ottimizzato sicuramente) in base a varie necessità:
Probabilmente la prima parte di codice è inutile però non si sa mai.
Dopodiché ho scritto il codice per risolvere il secondo punto.
Il problema è che ho usato il concetto di pseudoinversa, quando invece vorrei farne a meno ma non ho assolutamente idea di come, eventualmente ragionando con le matrici, poter trovare una matrice B tale che $A*B=I$. Inizialmente avevo creato una matrice fatta di sole variabili ma chiaramente non riusciva a risolvermi il sistema lineare associato a causa dei numerosi parametri liberi. Poi ho cercato allora di creare un codice che sostituisse parzialmente tali variabili con numeri casuali ma poi non trovava alcuna soluzione.
La seconda domanda è: avete qualche idea alternativa, più semplice (anche più articolata) che eviti il concetto di pseudoinversa per risolvere questo punto?
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto! e vi chiedo scusa per il testo lunghissimo! Se devo modificare qualcosa ditemelo pure e procedo.
Premetto che, sono sicuro al 100% non sia ottimizzato ma non mi interessa ai fini della risoluzione.
Premetto pure che il codice che inserirò dopo è perfettamente funzionante.
La prima domanda è perché
Codice:
random_matrix(SR,n,m)Per la seconda domanda devo inserirvi codice e traccia quindi la metto a fine codice
Devo scrivere un codice che accetta in input un'applicazione 𝑓:ℝ^𝑚→ℝ^𝑛 con m>n e dopo aver verificato sia surgettiva deve costruirmi 𝑔:ℝ^𝑛→ℝ^𝑚 tale che 𝑓∘𝑔 sia la funzione identità.
Ho scritto un codice che genera delle applicazioni lineari (ripeto, non è ottimizzato sicuramente) in base a varie necessità:
Probabilmente la prima parte di codice è inutile però non si sa mai.
Codice:
reset()
show('''Scegli, indicando la lettera (in maiuscolo), come vuoi fornire o generare
l'applicazione lineare tra le seguenti possibilita:''')
show('''A) Vuoi inserire manualmente la relazione funzionale?
B) Vuoi fornire due basi di due spazi vettoriali V e W, di dimensione prefissata (m>n), e una matrice?
C) Vuoi che l'applicazione lineare sia generata casualmente a partire da una matrice casuale (mxn, m>n)?
D) Vuoi fornire solo la matrice di dimensioni note?''')
I=input()
var('A,B,C,D,Y,N')
W = None
if I==str(A):
while True:
m = int(input('Inserisci la dimensione del dominio: '))
n = int(input('Inserisci la dimensione del codominio: '))
if m>n:
# Definizione delle variabili
alfabeto = 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz'
variabili = [var(alfabeto[i]) for i in range(m)]
# Visualizzazione delle variabili
show('Le variabili utilizzabili sono le seguenti: ',variabili)
show('Il numero di "relazioni" necessarie fornire è ' +str(n))
# Input delle relazioni come una stringa separata da virgole e verifica della lunghezza
while True:
relazione_input = input("Inserisci la relazione funzionale per intero separata da virgole (ad esempio 2*a,b,c+a): ")
# Divisione della relazione basata sulla virgola e formattazione della lista relazioni
relazioni = relazione_input.split(',')
#Verifica che
if len(relazioni) != n:
print(f"Il numero di relazioni fornite non corrisponde alla dimensione del codominio ({n}). Riprova.")
else:
break
# Creazione dell'applicazione lineare
f = lambda x: [eval(relazione, {alfabeto[i]: x[i] for i in range(m)}) for relazione in relazioni]
show(f(variabili))
f=linear_transformation(SR^m,SR^n,f)
show(f)
break
else:
print('La dimensione del dominio è minore di quella del codominio. Riprova.')
elif I==str(B):
while True:
#chiede e verifica che le dimensioni rispettino la condizione m>n
m=int(input('Scegli la dimensione del dominio '))
n=int(input('Scegli la dimensione del codominio '))
if m>n:
baseV=[]
baseW=[]
A=[]
#Acquisisce i vettori della base di V assicurandosi che abbiano lunghezza adeguata
for j in range(m):
while True:
vettore = input(f"Inserisci il vettore {j+1} della base di V come lista di numeri separati da virgola: ")
vettore = [eval(x) for x in vettore.split(',')]
if len(vettore) != m:
print(f"Il vettore deve avere lunghezza {m}. Riprova.")
else:
baseV.append(vettore)
break
#Acquisisce i vettori della base di V assicurandosi che abbiano lunghezza adeguata
for j in range(n):
while True:
vettore = input(f"Inserisci il vettore {j+1} della base di W come lista di numeri separati da virgola: ")
vettore = [eval(x) for x in vettore.split(',')]
if len(vettore) != n:
print(f"Il vettore deve avere lunghezza {n}. Riprova.")
else:
baseW.append(vettore)
break
show('Vuoi che almeno la matrice sia casuale? ')
I= input('Y/N ')
if I==str(Y):
#Genera una matrice casuale di dimensione n x m
A = random_matrix(SR, n, m)
show('La matrice generata casualmente è A= ',A)
show('Il rango di A è ' +str(rank(A)))
else:
#Acquisisce i vettori riga che formano la matrice A assicurandosi che abbiano lunghezza adeguata
for j in range(n):
while True:
riga = input(f"Inserisci la riga {j+1} della matrice come lista di numeri separati da virgola (lunghezza {m}): ")
riga = [eval(x) for x in riga.split(',')]
if len(riga) != m:
print(f"La riga della matrice deve avere lunghezza {m}. Riprova.")
else:
A.append(riga)
break
#Genera e mostra V,W e A e definisce l'applicazione lineare
A=matrix(A)
V = VectorSpace(SR, m).subspace_with_basis(baseV)
W = VectorSpace(SR, n).subspace_with_basis(baseW)
show('V= ',V)
show('W=',W)
show('A=',A)
f=linear_transformation(V,W,A,side='right')
show(f)
break
else:
print('La dimensione del dominio è minore di quella del codominio. Riprova.')
elif I==str(C):
while True:
m = ZZ.random_element(1, 10) # Genera un numero casuale tra 1 e 10
n = ZZ.random_element(1, 10) # Genera un altro numero casuale tra 1 e 10
if m > n:
break
show('La dimensione di V è m = '+ str(m), ', La dimensione di W è n = ' + str(n))
#Genera una matrice casuale di dimensione n x m
A = random_matrix(SR, n, m)
show('La matrice generata casualmente è A= ',A)
show('Il rango di A è ' +str(rank(A)))
f=linear_transformation(A,side='right')
show(f)
elif I==str(D):
A=[]
while True:
m=int(input('Scegli la dimensione del dominio (colonne) '))
n=int(input('Scegli la dimensione del codominio (righe) '))
if m>n:
#Acquisisce i vettori riga che formano la matrice A assicurandosi che abbiano lunghezza adeguata
for j in range(n):
while True:
riga = input(f"Inserisci la riga {j+1} della matrice come lista di numeri separati da virgola (lunghezza {m}): ")
riga = [eval(x) for x in riga.split(',')]
if len(riga) != m:
print(f"La riga della matrice deve avere lunghezza {m}. Riprova.")
else:
A.append(riga)
break
A=matrix(SR,A)
show('A=',A)
f=linear_transformation(A,side='right')
show(f)
break
else:
print('La dimensione del dominio è minore di quella del codominio. Riprova.')Dopodiché ho scritto il codice per risolvere il secondo punto.
Codice:
if f.is_surjective():
# Se W (e quindi V) non è definito, costruisce la matrice associata a f e g tramite la pseudoinversa
if W is None:
A = f.matrix()
g = linear_transformation(A.pseudoinverse())
# Altrimenti direttamente g
else:
g = linear_transformation(A.pseudoinverse(),side='right')
#verifica che la composizione di f e g coincide con l'identità
if (f * g).is_identity() == True:
show('''la composizione di f con g coincide con l'applicazione identica''')
show("f: ", f)
show("g: ", g)
show("fog: ",f*g)
else:
show('''la composizione di f con g non coincide con l'applicazione identica''')
show("f: ", f)
show("g: ", g)
else:
show('f non è surgettiva')Il problema è che ho usato il concetto di pseudoinversa, quando invece vorrei farne a meno ma non ho assolutamente idea di come, eventualmente ragionando con le matrici, poter trovare una matrice B tale che $A*B=I$. Inizialmente avevo creato una matrice fatta di sole variabili ma chiaramente non riusciva a risolvermi il sistema lineare associato a causa dei numerosi parametri liberi. Poi ho cercato allora di creare un codice che sostituisse parzialmente tali variabili con numeri casuali ma poi non trovava alcuna soluzione.
La seconda domanda è: avete qualche idea alternativa, più semplice (anche più articolata) che eviti il concetto di pseudoinversa per risolvere questo punto?
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto! e vi chiedo scusa per il testo lunghissimo! Se devo modificare qualcosa ditemelo pure e procedo.
