Non sono un esperto, ma di solito l'errore per lo spegnimento è l'alimentazione.
I 3 problemi più frequenti sono:
1. Problema con l'alimentatore in sè
2. Problema di surriscaldamento dei componenti (di solito dovuto da polvere nella PS; e visto che l'hai lasciata ferma da tempo potrebbe essere, se non è la polvere ed è un problema dei componenti stessi sei messo male)
Altri fattori che potrebbero causare lo spegnimento non legati all'alimentazione:
1. Disco fisso danneggiato
2. Disco fisso integro ma dati corrotti (anche se non penso si spegnerebbe in questo caso)
3. Virus nel sistema (questo è difficile se sei attento anche se l'hai moddata, e considerato che non la usi da un po' non credo c'entri)
Se il problema fossero il 2 o il 3 citati sopra basterebbe formattare il disco e reinstallare, anche se perderesti i salvataggi.
Potresti anche avere un BLOD (Blue Led of Death, vedi online)
Io farei così: provare con un altro alimentatore è rischioso e comunque non credo sia il cavo, ma comunque sconnetti tutti i cavi e puliscila per bene anche i cavi. Se non puoi aprire la console usa dell'aria compressa per sparare la polvere fuori dalle ventole (a bassa intensità), poi rimonta tutto e riprova. Se parte bene se non parte controlla se senti la ventola andare di brutto o se ti sembra scaldi molto.
Se non ti sembra prova a formattare il disco e reinstallare l'os, ma io non te lo consiglierei, più che altro perchè per me non hai problemi di dati corrotti. Se nei ha la possibilità smonta il disco e collegalo a un pc (non c'è bisogno di aprirlo), fai un test con crystaldisk e vedi cosa ti dice: se l'esito è "buono", il disco è a posto.
Comunque non dovresti postare in "Computer Preassemblati, ecc..." ma nella sezione "Console Zone"